Бином Ньютона — математическая формула с примером решения и объяснением

Содержание
- 1 Формула бинома Ньютона
- 2 Проверка в действии
- 3 Доказательство
- 4 С точки зрения геометрии
- 5 Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля
- 6 Где используется бином Ньютона
- 7 Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)
- 8 Утверждение теоремы
- 9 Биномные обобщения
- 10 Короткий путь
Формула бинома Ньютона
Предположим, что в доказанном нами равенстве
все вторые члены биномов одинаковы, т. е. что a=b=c= … =k. Тогда левая часть будет степень бинома
. Посмотрим, во что обратятся коэффициенты S₁, S₂, …,
.
Коэффициент S₁, равный a+b+c+ … +k, обратится в та. Коэффициент S₂, равный ab+ac+ad+ …. обратится в число α², повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из m элементов по 2, т. е. обратится в
. Коэффициент S₃, равный abc+abd+…, обратится в число а³, повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из т элементов по 3, т. е.
и т. д. Наконец, коэффициент
, равный abc…k, обратится в
. Таким образом, мы получим:
Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причём многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением бинома. Рассмотрим особенности этого многочлена.
Проверка в действии
Начать лучше с решения простой задачи, которую учитель покажет классу на уроке алгебры. Например, нужно расширить (2x-3) ³. Это было бы не слишком трудно сделать, воспользовавшись онлайн-калькулятором. Но нужно использовать бином, когда придётся столкнуться с более крупными расширениями, такими как двучлены, возведённые в 4, 5, 6, … степени.
Для начала нужно определить два члена из бинома (положения x и y формулы) и степени (буква n), до которой нужно расширить бином. Например, чтобы расширить (2x-3) ³, два члена составляют 2x и -3, а значение мощности (или n) равно 3. Следует отметить, что всякий раз, когда в биноме есть знак вычитания, очень важно помнить, что минус следует использовать только в качестве отрицательного символа в сопутствующем термине.
Замечательная вещь в теореме о биноме — это то, что она позволяет найти расширенный многочлен без умножения множества биномов вместе. Довольно интересное свойство. Оказывается, что число слагаемых в искомом расширенном полиноме всегда будет на единицу больше, чем сила, которую расширяют. Это означает, что необходимо создавать многочлен с четырьмя членами, так как мощность в этом примере равна 3.
Каждый член будет иметь (2x) и (-3), а также формулу «n выбирает k», где n = 3. Нужно записать это 4 раза, по одному на каждый член, оставив значение k в «n выбирает k». На этом этапе подсчёта значения степеней не заполняются.
Далее нужно заполнить k-значения и полномочия. Здесь можно следовать формуле суммирования, увеличивая мощность для каждого члена. Но довольно просто следовать шаблонам. Значения k в «n выбирает k» начинаются с k = 0 и увеличиваются на 1 в каждом члене. Последний член должен заканчиваться на n, равный k, в этом случае n = 3 и k = 3. Затем нужно добавить полномочия на (2x) и (-3).
Включение (2x) начнётся с n-значения, в этом случае — 3, и будет уменьшаться на 1 для каждого слагаемого, пока не доберётся до нуля. Включение (-3) будет начинаться с нуля и увеличиваться на единицу каждый раз, пока не доберётся до n или 3 в этой задаче. Итак, половина дела сделана: (³ₒ)(2x)³‾⁰˭³ (-3)⁰ + (³1)(2x) 3-1=2 (-3)1 + (³2)(2x) 3-2=1 (-3)2 + (³3)(2x) 3-3=0 (-3)3.
Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.
Доказательство
Докажем формулу бинома Ньютона. Умножить скобки можно путем взятия из каждой по одному слагаемому и сложения всех произведений, которые получились в итоге. Разберем значение коэффициента при akbn-k.
Существует определенное количество способов выбора a (из скобок) на первом шаге, равное n. На втором шаге число способов равно n-1 и так далее до n-k+1 на k-м шаге. С другой стороны, для каждой из вариаций вычислены и все ее порядковые перестановки, количество которых составляет k!. Путем нормирования получим в точности:
Cnk.
Далее разберем доказательство по методу индукции по n. Запишем базу индукции:
n=0
Получим:
(a+b)0=1=00a0b0
Запишем шаг индукции. Предположим, что соотношение для n является справедливым:
(a+b)n=∑k=0nnkan-kbk
В таком случае, требуется представить доказательства справедливости утверждения для n+1:
(a+b)n+1=∑k=0n+1n+1kan+1-kbk
Построим доказательство таким образом:
(a+b)n+1=(a+b)(a+b)n=(a+b)∑k=0nnkan-kbk=∑k=0nnkan-k+1bk + ∑k=0nnkan-kbk+1
Выберем слагаемое, которое входит в состав первой суммы, если k имеет нулевое значение:
∑k=0nnkan-k+1bk=an+1+∑k=1nnkan-k+1bk
Выберем слагаемое, которое включено во вторую сумму, если соблюдается равенство k=n:
∑k=0nnkan-kbk+1=bn+1+∑k=0n-1nkan-kbk+1=bn+1+∑k=1nnk-1an-k+1bk
На следующем шаге следует выполнить сложение сумм, которые получились в результате преобразований. Получим:
an+1+∑k=1nnkan-k+1bk + bn+1+∑k=1nnk-1an-k+1 bk=an+1+bn+1+∑k=1nnk+nk-1an-k+1bk=
∑k=00n+1kan+1-kbk + ∑k=n+1n+1n+1kan+1-kbk + ∑k=1nn+1kan+1-kbk=∑k=0n+1n+1kan+1-kbk
Формула бинома Ньютона доказана.
С точки зрения геометрии
Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.
В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n)′ = nx n-1. Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n — 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .
Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n-куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n — 1)».
Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n — k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.
Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:
- (x + y) (x + y) (x + y);
- xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
- x2 + 3×2 y + 3xy2 + y3 равняется (3 2) = 3.
Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.
Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 … en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n — k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:
- количество копий x n — k y k в расширении;
- количество n-символов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
- количество k-элементных подмножеств {1, 2, …, n}.
Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если (n k) представлено как n! / k! (n-k)!.
Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля
Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:
Показатель степени | Биноминальные коэффициенты | ||||||||||
0 | C00 | ||||||||||
1 | C10 | C11 | |||||||||
2 | C20 | C21 | C22 | ||||||||
3 | C30 | C31 | C32 | C33 | |||||||
⋮ | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||
n | Cn0 | Cn1 | … | … | … | … | … | Cnn-1 | Cnn |
При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:
Показатель степени | Биноминальные коэффициенты | ||||||||||||||
0 | 1 | ||||||||||||||
1 | 1 | 1 | |||||||||||||
2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||
⋮ | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||
n | Cn0 | Cn1 | … | … | … | … | … | … | … | … | … | Cnn-1 | Cnn |
Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.
Где используется бином Ньютона
Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином.
Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов.
Запускаем нейросеть на домашнем компьютере
А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.
Что такое непозиционная система счисления
Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)
Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:
На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:
Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.
Утверждение теоремы
Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y 0 + (n1) x n — 1 y 1 + (n2) x n — 2 y 2 + ··· + (n n — 1) x1y n — 1 + (n n) x1y n — 1+ (n n) x0 y n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.
Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.
Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.
Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n:
- степени x уменьшаются на 1 в каждом члене, начинаясь с n до достижения 0 (при x 0 , равном 1);
- y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
- число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2n;
- после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.
Теорема может быть применена к степеням любого бинома.
Биномные обобщения
Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.
Однако для произвольного числа r можно вычислить (r k) = r(r — 1) ··· (r — k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями. Когда r — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.
Обобщения можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х || <1.
Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Мультибиномиальная теорема часто бывает полезной при работе в нескольких измерениях, чтобы иметь возможность оперировать продуктами биномиальных выражений.
Короткий путь
Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.
Теперь хорошая часть. В Треугольнике Паскаля спрятаны все ответы — это настоящая шпаргалка. Диаграмма ниже показывает, где находятся скрытые «n выбирает k».
Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8×3 + (3)4×2(-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).
Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.
Понравилась статья? Поделитесь ей
А какая Ваша оценка этой статьи?
12345
3.3 из 5
Доска почета
Чтобы сюда попасть — пройдите тест
Источники
- https://lfirmal.com/binom-nyutona/
- https://Sprint-Olympic.ru/uroki/matematika-uroki/93032-binom-nutona-formyla-dokazatelstvo-i-primery-resheniia.html
- https://Wika.TutorOnline.ru/algebra/class/10/obyasnenie-i-reshenie-formuly-binoma-nyutona-prostymi-slovami
- https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html
- https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/binom-njutona/
- https://thecode.media/binomial/